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Minimalflächen

Eine Fläche mit verschwindender mittlerer Krümmung heißt Minimalfläche. Minimalflächen sind Kandidaten für Flächen kleinsten Flächeninhalts bei vorgegebenen Rand, daher der Name. Oftmals lassen sie sich durch Seifenfilme realisieren, indem ein Rand aus Draht in Seifenflüssigkeit getaucht wird.

Bonnet-Isometrie

Schwarz'sche D-Fläche, Gyorid und Schwarz'sche P-Fläche sind Mitglieder der selben assoziierten Familie von Minimalflächen. Schneidet man die Flächen geschickt auf, so lassen sie sich verzerrungsfrei ineinander verformen. Diese Isometrie heißt Bonnet-Transformation. Sie wird via Weierstraß-Darstellung für Minimalflächen konstruiert und trägt den Bonnet-Winkel als Parameter.

Ein Bonnet Winkel von 0° ergibt eine D-Fläche. Bei gerundet 38.01477° entsteht kurioserweise ein Gyroid und bei einem Bonnet Winkel von 90° zeigt sich eine P-Fläche. Hier ist eine Animation dieser Deformation zu sehen. Sie ist das Resultat von mehr als 100 Millionen Zeilen LaTeX-Code.

Bemerkenswert sind die Bewegungen der Lichtreflexe auf der Fläche. Dreht sich die Fläche um die vertikale Achse, so wandern die Glanzpunkte entsprechend. Während einer Verformung bewegen sich die Lichtreflexe relativ zu Fläche jedoch nicht. Grund dafür ist, dass die Bonnet-Transformation den auf der Fläche senkrecht stehenden Vektor bewahrt.

D-G-P-Familie D-G-P-Familie Lokale Isometrie zwischen D-Fläche, Gyroid und P-Fläche

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