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Minimalflächen

Eine Fläche mit verschwindender mittlerer Krümmung heißt Minimalfläche. Minimalflächen sind Kandidaten für Flächen kleinsten Flächeninhalts bei vorgegebenen Rand, daher der Name. Oftmals lassen sie sich durch Seifenfilme realisieren, indem ein Rand aus Draht in Seifenflüssigkeit getaucht wird.

Alle Grafiken habe ich in LaTeX unter Verwendung der packages tikz und tikz-3dplot gezeichnet.

Catenoid und Helicoid

Catenoide sind Rotationsflächen, Helicoide Wendelflächen. Beides sind Minimalflächen. Helicoid und Catenoid sind lokal isometrisch: Man kann sie ohne Verzerrung ineinander deformieren. Unter anderem ist eine Animation dieser Isometrie zu sehen.


Enneper-Flächen

Die Enneper-Fläche wurde 1864 vom deutschen Mathematiker Alfred Enneper gefunden. Hier sind Enneper-Flächen verschiedener Ordnung bis zu ihrer Selbstüberschneidung geplottet. Mehr.


P-Fläche und DGP-Familie

Die P-Minimalfläche von Hermann Amandus Schwarz ist ein Vertreter der DGP-Familie dreifach periodischer Minimalflächen. Sie teilt den Raum in zwei kongruente Labyrinthe. Mehr.


Gyroid

Gyroide sind besondere dreifach periodische Minimalflächen, die weder gerade Linien, noch Spiegelsymmetrien aufweisen. Deswegen ist die Visualisierung besonders anspruchsvoll. Gyroid und Schwarz'sche P-Fläche sind auf analoge Weise isometrisch wie Helicoid und Catenoid. Wie seine Verwandte teilt ein Gyroid den Raum in zwei Labyrinthe. Mehr.


Bonnet-Isometrie

Schwarz'sche D-Fläche, Gyorid und Schwarz'sche P-Fläche sind Mitglieder der selben assoziierten Familie von Minimalflächen. Die Flächen lassen sich verzerrungsfrei ineinander verformen. Hier ist eine aufwändige Animation dieser Deformation zu sehen. Mehr.